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2018-2019学年人教B版选修1-1 2.2.1 双曲线及其标准方程

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2.3.1 双曲线的标准方程 一、回顾 1、椭圆的定义是什么? 、椭圆的标准方程、焦点坐标是什么? 定义 |MF1|+|MF2|=2a(2a>|F1F2|) y 图象 · · F1 o F2 ·y F2 ·o x F1 方程 · x2 ?y2 ?1(a?b?0) y2 x2 ? ?1(a?b?0) a2 b2 a2 b2 焦点 F ( ±c,0) F(0, ± c) a.b.c的 关系 a2=b2+c2 1. 椭圆的定义 *面内与两定点F1、F2的距离的 和 等于常数 2a ( 2a>|F1F2|>0) 的点的轨迹. Y M?x,y? 2. 引入问题: O F 1 ??c,0? F 2? c,0? X *面内与两定点F1、F2的距离的 差 等于常数 的点的轨迹是什么呢? ①如图(A), |MF1|-|MF2|=|F2F|=2a ②如图(B), |MF2|-|MF1|=2a 由①②可得: | |MF1|-|MF2| | = 2a (差的绝对值) 上面 两条合起来叫做双曲线 想一想? |MF1| - |MF2|=?2a 1、 2a < |F1F2 | 双曲线 2 、2a= |F1F2 | 两条射线 3、2a> |F1F2 | 无轨迹 定义: *面内与两个定点F1,F2的距离的差 的绝对值 等于常数(小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线. ① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点; ② |F1F2|=2c ——焦距. M 注意 F 1 oF 2 ? | |MF1| - |MF2| | = 2a 方程的推导 求曲线方程的步骤: 1. 建系设点. 2. 写出适合条件的点M的集合; 3. 用坐标表示条件,列出方程; 4. 化简. y M F 1 OF 2 x 1. 建系. 以F1,F2所在的直线为X轴,线 段F如1F何2的求中这点优为美原的点曲建线立的直方角程? 坐标系 2.设点.设M(x , y),双曲线的焦 距为2c(c>0),F1(-c,0),F2(c,0) F1 常数=2a 3.列式.|MF1| - |MF2|=?2a ,, y M o F2 x 即 (x+c)2 + y2 - (x-c)2 + y2 = +_ 2a 4.化简. (x? c )2? y2?(x? c )2? y2? ? 2 a ? ?? ? 2 2 ( x ? c ) 2 ? y 2? ? 2 a ? ( x ? c ) 2 ? y 2 y M F1 o x F2 c? xa2??a(x?c)2?y2 (c 2? a 2 )x 2? a 2 y 2? a 2 (c 2? a 2 )c2 ?a2?b2 x2 a2 ?y2 b2 ?1(a?0,b?0) ?想一想 焦点在y轴上的双曲线 的标准方程 y2 a2 - x2 b2 =1 y F2 ox F1 双曲线的标准方程 y y M M F 1 OF 2 x F2 x O F1 x2 ? y2 ?1 a2 b2 y2 x2 a2 ?b2 ?1 (a?0, b?0) x2 y2 a2 ? b2 ? 1 F ( ±c, 0) y M F1 o F2 x y M F2 F1 y2 x2 x a2 ? b2 ? 1 F(0, ± c) 问题:如何判断双曲线的焦点在哪个轴上? 练*:写出以下双曲线的焦点坐标 1. x2 ? y2 ?1 16 9 3. y2 ? x2 ?1 16 9 2. x2 ? y2 ?1 F(±5,0) 9 16 4. y2 x2 ? ?1 F(0,±5) 9 16 ?想一想 y F2 焦点在y轴上的双曲线 的标准方程 ox y2 a2 ?bx22 ?1(a?0,b?0) F1 F1(0,-c), F2(0,c) c2 ?a2?b2 确定焦 点 位置: 椭圆看分母大小 , 双曲看系数正负 例1 已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0),双曲线上 一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等于8,求双曲线 的标准方程. 解:根据双曲线的焦点在 x 轴上,设它的标准方程为: x2 y2 a2?b2 ?1 (a?0,b?0) ∵ 2a = 8, c=5 ∴ a = 4, c = 5 ∴ b2 = 52-42 =9 所以所求双曲线的标准方程为: x2 ? y2 ? 1 16 9 例2:求适合下列条件的双曲线的标准方程。 1、a?4,c?5 焦点在 y 轴上 y2 x2 ? ?1 16 9 2、焦点为 (?5,0),(5,0)且 b ? 3 x2 ? y2 ? 1 16 9 3、a ? 4 经过点 A (1, 4 1 0 ) 3 思考: 要求双曲 线的标准 方程需要 几个条件 变式一: 方程 x2 y2 ? 2?m m?1 ?1表示双曲线时,则m的取值 范围__m __? __?_1_或 ___m __?__2__. 变式二: 上述方程表示焦点在y轴的双曲线时,求m 的范围和焦点坐标。 分析: ?m?1?0 ??2?m?0?m?2 c 2? (m ? 1 )? (m ? 2 )? 2 m ? 1 ? ? 焦 (0, 点 ?(0 ?,2? 为 m? 2m 3)?1) 练*1:如果方程 x2 y2 ? ?1表示双曲线, 2?m m?1 求m的取值范围. 分析: 由 (2?m )m (?1)?0 得 ?1?m?2 变式一: 方程 x2 ? y2 ?1表示双曲线时,则m的取值 2?m m?1 范围__m __?__?_1_或 ___m __?__2__. 例2 已知双曲线的焦点在y轴上,并且双曲线 上两点P1、P2的坐标分别为(3,? 4 2 )、 (9/4,5),求双曲线的标准方程. 解:因为双曲线的



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